APMO 2020
問題 2

$r=2$ のときを考える．不等式 $a_n^2\leq a_{n+2}^2\leq a_n^2+2a_{n+1}$ より以下の $2$ つが成り立つ．

• $a_n\lt a_{n+1}$ ならば $a_{n}\leq a_{n+2}\leq a_{n+1}$．
• $a_{n+1}\leq a_n$ ならば $a_{n+2}=a_n$．

したがって任意の $n$ に対して

$$\max\{a_{n},a_{n+1}\}=\max\{a_{n+1},a_{n+2}\},\quad \min\{a_{n},a_{n+1}\}\leq \min\{a_{n+1},a_{n+2}\}$$

が成り立ち，ある正整数 $M,c\leq C$ が存在して $n\geq M$ ならば $\max\{a_{n},a_{n+1}\}=C,\min\{a_{n},a_{n+1}\}=c$ が成り立つ．すなわち $n\geq M$ のとき $a_n=a_{n+2}$ である．

$r\gt 2$ のときを考える．このとき $N(r-2)\geq 1$ を満たす $N$ が存在するので，

$$a_{2m-1}=a_{2m}=N+m$$

によって広義単調増加な数列 $a_1,a_2,\dots$ を考えれば

$$a_{n}\leq a_{n+2}\leq a_n+1\leq \sqrt{a_n^2+2a_n+N(r-2)}\lt\sqrt{a_{n}^2+2a_n+(r-2)a_n}\leq \sqrt{a_n^2+ra_{n+1}}$$

が成り立ち，問題文の不等式は満たすが，どれだけ先でも周期 $2$ でない．

以上より示された．