APMO 2019
問題 2

正の整数 $x$ が $2$ で割り切れる最大の回数を $v(x)$，$x$ を割り切る最大の奇数を $b(x)$ とすると，$x=2^{v(x)}\cdot b(x)$ が成り立つ．

数列 $\{a_i\}$ のすべての項が整数であるとき数列 $\{b(a_i)\}$ は有界なので，最大値 $b_c$ がとれ，$b(a_k)=b_c$ かつ $a_k\lt 2^m$ なる正整数 $k$ がとれる．ここで $k^\prime\gt k$ かつ $a_{k^\prime}\lt 2^m$ なる $k^\prime$ であって，最小のものをとると，

$$b(a_{k^\prime})=b(a_k^2+2^m)=b(2^{2v(a_n)}\cdot b_c^2+2^m)\leq b_c$$

が成り立つ．よって $2v(a_n)=m$ かつ $b_c=1$ が必要である．すなわち $m$ は偶数であり，$a_k=2^{m/2}$ なる $k$ が存在する．このとき $k=1$ である必要があり，実際に $a_1=2^{m/2}$ とすれば数列 $\{a_i\}$ のすべての項は整数である．

以上より，$m$ が奇数のとき条件を満たす $a_1$ は存在せず，$m$ が偶数のとき条件を満たす $a_1$ は $a_1=2^{m/2}$ のみである．