APMO 2019
問題 1

$a=b=1$ として $f(1)+1\mid f(1)^2+1$ を得るので $f(1)=1$ が従う．ある正整数 $n$ について $f(n)=n$ が成り立つとき，$a=n+1,b=n$ として

$$f(n+1)+n\mid (n+1)^2+nf(n+1)$$

これは $f(n+1)+n\mid 2n+1$ と同値なので $f(n+1)=n+1$ が従う．以上より任意の正整数 $n$ に対して $f(n)=n$ であり，これは題意を満たす．