APMO 2018
問題 4

正三角形を辺に関して対称移動することで光線を三角格子上の線分に展開することを考えると，停止した点 $X$ について，ある正整数 $a,b$ が存在して以下が成り立つ．

$$\overrightarrow{AX}=a\cdot \overrightarrow{AB}+b\cdot \overrightarrow{AC}$$ $$a\equiv b\pmod{3},\quad \gcd(a,b)=1$$

このとき，光線 $AX$ が反射した回数は $2(a+b)-3$ と表されるので，本問は以下の条件を満たす正整数の組 $(a,b)$ が存在するような正整数 $m$ を全て求める問題に帰着される．

$$a\equiv b\pmod{3},\quad \gcd(a,b)=1,\quad a+b=m$$

• $m\equiv 0,3\pmod{6}$ のとき
  $a\equiv b\equiv 0\pmod{3}$ より $\gcd(a,b)\neq 1$ であり，不適である．
• $m\equiv 1,5\pmod{6}$ のとき
  $m\neq 1$ が必要であり，逆にこのとき $(a,b)=\left(\dfrac{m-3}{2},\dfrac{m+3}{2}\right)$ が条件を満たす．
• $m\equiv 2\pmod{6}$ のとき
  $(a,b)=(1,m-1)$ が条件を満たす．
• $m\equiv 4\pmod{6}$ のとき
  $m=12k-8$ のとき，$k\neq 1$ が必要であり，逆にこのとき $(a,b)=(6k-1,6k-7)$ が条件を満たす．$m=12k-2$ のときは $k\neq 1$ が必要であり，逆にこのとき $(a,b)=(6k-7,6k+5)$ が条件を満たす．

以上より，$m$ としてありうる値は $3$ の倍数でも $1,4,10$ でもない数である．よって $n$ としてありうる値はこのような $m$ を用いて $2m-3$ と表される数，すなわち $3$ の倍数でも $5,17$ でもない数である．