APMO 2017
問題 1

$m$ を非負整数とする．$2017$ 個の整数の組が $m$-良いとは，$2017$ 個の整数を円周上に並べたとき，どの連続する $5$ つの数も適切に入れ替えて $a,b,c,d,e$ とすることで

$$a-b+c-d+e=m$$

が成り立つようにできることをいう．

このとき，$2m$-良い組の $2017$ 数はすべて偶数であり，$2017$ 数全てを $2$ で割った組は $m$-良い組である．特に $0$-良い組の $2017$ 数は全て $0$ である．また，$2m+1$-良い組の $2017$ 数はすべて偶数であり，$2017$ 数全てから $1$ を引いて $2$ で割った組は $m$-良い組である．したがって全ての $m$-良い組の $2017$ 数は全て $m$ である．

よって求める組は $(29,29,\dots,29)$ のみである．